“The infinite, like no other problem, has always deeply moved the soul of men. The infinite, like no other idea, has had a stimulating and fertile influence upon the mind. But the infinite is also more than any other concept, in need of clarification.”
——David Hilbert
一、自然数的定义
一位德国数学家克罗内克说过：“上帝创造了整数；其余皆出凡人之手”。克罗内克是直觉派的坚定支持者，他认为只有整数符合人类的经验和直觉，除此之外都是人类的想象。
自然数是如何产生的？如今，12个刻度的时钟、银行账户的存款数目、电话号码、身份证号，这些数字根深蒂固地存在于每一个现代人脑中。但这些构成我们现代生活的数字并非与生俱来。从智人出现算起漫长的20多万年时间里，我们这个物种很长一段时间并没有发展出精确表示数量的方法。事实上，直到现在，非洲亚马逊河流域还存在一些“无数字”的原始部落，他们以狩猎-采集为生，只用“少量”、“一些”这些词语表示数量。当要求他们准确辨别一些数量，比如“罐子里有五个坚果，拿走三个之后，罐子里还有几个”，“树上总共有多少个椰子”这些问题，对他们来说仍然异常艰难。即使在现代社会，“无数字”的生活也离我们并不遥远。仅仅回到50年前，中国农村仍然可以见到不会做十以上加减法的老人，在封建历史时期，基础的算术教育并没有像如今一样普及。刚出生的婴儿在接触数学前，只能大致分辨三以上的数量。这也就是说，最初的计数和运算仅仅在人们需要时才出现，与经验和生存的需求密不可分，当没有数字也可以生活得不错时，也就无需扩展对数字的认知——除非纯粹的想象和思辨出现。（关于直观和形式逻辑的纷争水很深，涉及到三大数学哲学流派：逻辑主义、形式主义、直觉主义，代表人物分别是罗素、希尔伯特、布劳威尔。《什么是数学》的作者柯朗写书时正值公理演绎盛行时期，他反对过分强调公理演绎。爱因斯坦曾经说过，“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统的实验可能找出因果关系。”对于科学来讲，古希腊的逻辑演绎精神和文艺复兴时期产生的实验精神对科学同等重要。）
假如非要说上帝创造了整数，那也只能从这个角度理解：上帝赋予人类十根手指，并从地面解放了它们。人类从认识自己的手指开始，头脑中闪过的关于数字的想法被语言记录下来，一代代流传下去。有一天，当人们意识到可以不依赖手指、石头、绳结去分辨羊群里有几头羊——事实上，可以不依赖任何实物——数字才被抽象了出来。
克罗内克反对康托尔的集合论，他拒绝无理数的概念，认为整数具有“自然”的优越地位，也就把自己挡在了更加广阔的数学世界门外。
Cantor :从集合构造自然数
设x为集合，定义x的后继(successor)$x^+为x\cup \{x\}$,则自然数可构造为：
定义归纳集（inductive set）A：
有了归纳集的概念，引入一条无穷公理（Axiom of Infinity, ZFC.7）说明自然数集$\mathbb{N}$的存在：
于是，自然数和自然数集就在集合论中构造出来了。这里要注意，无穷并不是构造出来的，而是通过公理引入的。
Peano自然数算术公理系统
$0\in\mathbb{N}$
$n\in\mathbb{N}\to n^+\in\mathbb{N}$
$n^+=m^+\to n= m$
$0\not=n^+$
$\emptyset\in A\land (\forall x\in A )(x^+\in A)\to (\forall x\in \mathbb{N})(x\in A)$
二、集合的基数
集合的基数与等势关系
集合的基数：集合中元素的个数称为集合A的基数（cardinals），又称集合A的势（cardinality），记为cardA或$\mid A \mid$。
集合等势：A等势（equipotence)于B指存在A与B的双射函数（1-1,onto），记为$A\approx B$。
有限集和无穷集
有限集：若$\exists n\in \mathbb{N}$，使得$A\approx n$，则A是有限集。
无穷集：非有限集为无穷集。
“无穷的大小”：可列集、不可列集、集合优势关系
- 可列集：与自然数集N等势的集合，$A \approx \mathbb{N}$，A的势$|A|=\aleph _0$。
（可以按某种确定的规则与自然数集一一对应（1-1，onto）。意味着可列集可以按确定的顺序线性排列，并用自然数数出。所谓“确定的”顺序是指对序列中任一元素，可以说出它“前一个”、“后一个”元素是什么。）
- 不可列集：不是可列集的集合。
一个经典的例子——「证明实数集是不可列集(Cantor’s-diagonalization-argument)」
由于$R\approx[0,1]$，故只需证明$[0,1]$之间的实数点集不可列
假设$[0,1]$之间的实数点集可列，则$[0,1]$上的值可列举为：
取实数$y\in[0,1]$，表示为$0.b_{1}b_{2}b_{3}…$，并令$b_{i}\not=b_{ii}(i=1,2,3,…)$。易见，$y$与上表中任一值均不相等，假设错误，实数集不可列。
可能有人会问，y不在列出的数里，把y加进去不就可以了？这样还是可以列举出来。
但是，加进y之后，我们还是可以用相同的方法，找到一个新的y，令它每一位与列表里对应的对角线数字均不相等。这个过程可以无穷地进行下去，而且永远也无法确定下一个y是什么。显然，永远不可能把$[0,1]$间的实数列举完。
可能有人还会问，把“$[0,1]$间实数”换成“自然数”，按照Cantor的方法，不是也可以找到无穷无尽符合条件的y吗？这样岂不证明自然数集也是不可列的，也即自然数集的势不等于它自身吗？这显然是矛盾的。
错，这样的y并不存在。
问题的关键在于，实数小数点后的位数可以是无穷的，而虽然自然数集是无穷集，但一个自然数必然有确定的位数，不存在一个无穷位数的自然数。当试图找到一个$y=b_{1}b_{2}b_{3}…b_{n}$，令$b_{i}\not=b_{ii}(i=1,2,3,…n)$时，因为n是一个确定的自然数，n位数的自然数列表是可以穷举列出的，所以不在列表里的y根本不存在。
至此我们意识到，无穷集与无穷集之间似乎也有差别，有些无穷集比另一些无穷集更“无穷”，无穷集也有“大小”。
命题：$\mathcal{P} (A)\approx \{0,1\}^A=\{f|f:A\to \{0,1\}\}$
例如，$A=\{a,b,c\}，X\subseteq A$，判定函数
是A中子集X的特征判定函数，每个子集对应一个判定函数，比如子集$X=\{a,c\}$，则$f_X(a)=1,f_X(b)=0,f_X(c)=1$。
Cantor定理（1891）
集合A一定和它的幂集不等势。
可以证明，A的幂集的势大于A。
为了比较无穷集的大小，引入集合的“优势关系”：
集合的优势关系：设A，B为集合，若存在从A到B的单射(1-1)函数，则称集合B优势于集合A，记做：$A\leq·B$。若$A\leq·B\land A\not\approx B$，称为真优势，记做：$A<·B$。
Cantor-Bernstein-Schroder定理（三明治定理）
连续统假设（C.H）：在自然数无穷和实数无穷之间不存在其他等级的无穷
连续统假设和ZFC是独立的，ZFC+C.H，$ZFC+\neg C.H$，$\neg ZFC+C.H$，$\neg ZFC+\neg C.H$均是相容的。
参考：