公元前400多年的古希腊，德尔斐的阿波罗神庙上刻着一句著名的神谕：“认识你自己”。人降生在这个世界上时一无所知，苏格拉底说：追求知识和真理就是最高的品德。
数理逻辑简史
亚里士多德（394BC-322BC）继承苏格拉底和柏拉图的意志，并且更彻底地追求真理，他说：“吾爱吾师，吾更爱真理。”为了他的目标，亚里士多德创立了一套方法论，成为逻辑的起源。其中包括著名的“三段论”——全称、特称、结论，以及逻辑推理的三大规律——同一律、无矛盾律和排中律。
欧几里得（325BC-265BC）的《几何原本》将公理和逻辑引入到数学中。以几条不证自明的简单公理为基础，用逻辑演绎的方法构建起欧氏几何的大厦。
由于自然语言存在歧义，使用自然语言进行逻辑推理容易走入诡辩的迷雾（拓展：公孙龙的“白马非马”论，哥德尔用本体论证明上帝存在）。为了摆脱含混不清，令逻辑达到绝对的严谨和明晰，将语义与语法分离，推动逻辑推理形式化、符号化成了逻辑发展走向现代的风向标。
千年之后，德国的莱布尼茨（1646-1716）第一个试图把逻辑推理符号化，以求逻辑推理变得直观简洁，为更复杂的逻辑推理开辟道路。
1832年，伽罗华开创了研究抽象公理代数系统的抽象代数。
布尔（1815-1864）把代数引入逻辑，用0，1分别代表False，True，结合算子和逻辑规则，使逻辑运算成为可能。
弗雷格（1848-1925）试图把数学转变成纯粹的符号逻辑，他留下了一本著作《概念文字》，引入的符号语言后来被称为一阶语言。
1872-1874年，康托尔建立的集合论似乎告诉人们：数学系统的形式化工作已经完成，数学的绝对严密已经实现。所以有了1900年希尔伯特在巴黎数学大会上的雄心勃勃的宣言。
但仅仅过了1年，罗素便发现了朴素集合论中著名的“罗素悖论”：假设S是所有不属于自身的集合的集合，即$S=\{x|x\not \in x\} $，那么S是否属于自身就会导出矛盾。数学大厦遭遇了危机。后来数学家们用新的公理替代Cantor原则，形成了公理化集合论。
……
什么是命题，什么是论证
首先看一组自然语言：
“明天会下雨”
“Tomorrow will rain”
“$2+3=5$”
“$2^{=3}+5$”
“别吃冰淇淋”
“吃什么口味的？”
1和2是不同的语句，但对于一个同时掌握中文和英文的人来说，会认为1和2想要表达某种相同的东西，我们暂时称这种语句背后的“含义”为“命题”。那么，1的含义是什么呢？假如有人在2020年1月1日说了“明天会下雨”，这句话的含义是2020年1月2日会下雨；但假如此人是在2020年1月2日说了这句话，那么这句话的含义又变成了2020年1月3日会下雨。所以，同一个语句，也有可能表达多个含义。自然语言中充满了各种各样有歧义的语句。对于逻辑学家，想要追求确定性和唯一性，就不能容许含糊的歧义存在，把语义从语句中抽离出来，就是必要的工作。
语句被分为语法和语义。简单来说，语法中包含一些符号，这些符号按特定的规则排列组合，使用这种语言的人遵循这些规则，就可以表达某种语义。以3和4为例，学过算术的人一眼就可以看懂3表达的含义，而4仅仅是把同样的一些符号换了换顺序，就让人看不懂了。
现在知道了是什么构成一个语句。开头说过，暂时把语句的“含义”叫做“命题”，那是不是所有有含义的语句都算作一个命题呢？来看看5和6，它们显然也都能传递一些信息，但对于一个具有古希腊演绎精神的哲学家用处不大。一个皇帝确实可以依仗手中的权力号令手下为他杀掉一个叛臣，但就算他破口大骂，也不能让一个没电的灯泡发出光来。同样，一个道士向上天询问日月星辰运行之理，答案也很难凭着打坐降临这颗虔诚的头脑。只有真伪才有意义，命题就是这样一些语句，它们非真即伪，必然可以判定（二值原则）。
判定命题真伪的过程就叫做论证。一般来说，一个论证由前提和结论组成，并且前提和结论都必须是命题。看下面两个例子：
- 苏格拉底是人，人都会死，所以苏格拉底也会死。
- 苏格拉底会死，人都会死，所以苏格拉底是人。
人们会接受1的说法，但却不大会接受2的说法，即使2的前提是真的。当人们接受前提的情况下，一定也会接受结论，才可以称一个论证为正确的论证。如果我们换掉1中的“苏格拉底”，“人”，“会死”，在对应的位置换成其它项：
黑天鹅是天鹅，天鹅有两只翅膀，所以黑天鹅有两只翅膀。
只要我们承认黑天鹅是天鹅，天鹅有两只翅膀，那么就会认同结论是正确的。事实上，“苏格拉底”，“人”，“会死”可以换成任何东西，完全可以用符号代替，这样就可以抽象出论证的形式：
P 是 Q，所有的 Q 都是 R，所以 P 是 R。
按照一个有效论证的形式，只要前提为真，其结论就一定为真。这称为逻辑论证的可靠性（soundness）。
逻辑系统
苏格拉底的例子是亚里士多德提出的经典“三段论”结构，其基本单位是项（terms），被称为语词逻辑（term logic）。
还有一种常见的逻辑结构，以命题（proposition）为基本单位：
如果苹果熟了，那么苹果就会落地。
苹果熟了。
苹果会落地。
这种论证形式可以表示为：
若 P，则 Q
P
所以 Q
这种逻辑系统被称为命题逻辑（propositional logic），命题逻辑是一种很简单也很基本的逻辑系统，处理能力有限。
更复杂的逻辑系统有述词逻辑（predicate logic），把命题拆分为主词（subject）和述词（predicate）；一阶逻辑（first order logic）（项、量词、加入关系述词等）等等。
……
以上的逻辑理论都基于一个基本的假设：命题必然非真即伪，这在语义学中被称为“二值原则”，而在亚里士多德提出的逻辑三大规律中被称为“排中律”。如果不满足这个基本假设，事实上，自然语言中这样的语句并不少见，比如：
明天气温会超过40摄氏度。
小光工作勤勤恳恳。
第一句话如果把“明天”看作永远未到来的“明天”，那这句话永远也无法判定真伪，只对可能性做了一个声明；
第二句话加入小光一辈子都没有找到一份工作，这句话也无法判定真伪。
处理这样的语句有另外的逻辑系统，比如模态逻辑，直觉逻辑。
参考